🔺 Volumen einer Pyramide

📐 Worum geht's?

Eine Pyramide besteht aus einer beliebigen Grundfläche G (Dreieck, Quadrat, Fünfeck — egal welche Form) und einer Spitze, die im senkrechten Abstand h über dieser Grundfläche liegt. Egal wie die Pyramide aussieht: Es gilt immer dieselbe einfache Formel für ihr Volumen. Auf dieser Seite siehst du, was dahintersteckt — und warum der Faktor genau 13 ist und nicht etwa 12.

🧠 Geometrische Erklärung

Vergleiche eine Pyramide mit einem Prisma (z. B. einem Quader), das dieselbe Grundfläche G und dieselbe Höhe h hat. Das Prisma hat überall den gleichen Querschnitt — sein Volumen ist schlicht G · h. Die Pyramide dagegen läuft nach oben spitz zusammen: Ihr Querschnitt wird mit zunehmender Höhe immer kleiner.

Schneidet man die Pyramide in der Höhe x (gemessen von der Spitze) parallel zur Grundfläche durch, hat dieser Querschnitt den Flächeninhalt

Die Fläche schrumpft also quadratisch, nicht linear, je näher man der Spitze kommt — bei der halben Höhe ist der Querschnitt nicht halb, sondern nur ein Viertel so groß. Genau dieser quadratische Schrumpfungseffekt ist der Grund, warum am Ende nur ein Drittel des Prismenvolumens übrig bleibt (mehr dazu im Beweis unten).

🎛️ Interaktiver Rechner

Verändere Grundfläche und Höhe und beobachte, wie sich Pyramide und Volumen live verändern.

Das Verhältnis bleibt immer exakt 1 : 3 — unabhängig davon, welche Werte du wählst.

✅ Beweis: Warum genau ein Drittel?

Wir beweisen die Formel zunächst für einen einfachen Spezialfall — eine quadratische Pyramide, deren Höhe gleich der Seitenlänge a ihrer quadratischen Grundfläche ist (G = a², h = a) — durch Zerlegung eines Würfels. Danach zeigen wir, dass das Ergebnis für jede Pyramide gilt.

1. 1 Nimm einen Würfel mit Kantenlänge a und wähle einen seiner Eckpunkte aus. Von diesem Eckpunkt aus lassen sich genau drei quadratische Pyramiden bilden: Ihre Spitze ist der gewählte Eckpunkt, ihre Grundflächen sind die drei Würfelflächen, die diesen Punkt nicht berühren.
2. 2 Diese drei Pyramiden überlappen sich nicht und füllen den Würfel lückenlos: Würfel = Pyramide 1 + Pyramide 2 + Pyramide 3.
3. 3 Der Würfel besitzt eine 3-fache Drehsymmetrie um seine Raumdiagonale (vom gewählten Eckpunkt durch den Mittelpunkt zur gegenüberliegenden Ecke). Eine Drehung um 120° um diese Achse bildet den Würfel exakt auf sich selbst ab und vertauscht dabei die drei Pyramiden zyklisch. Da Drehungen Längen und Volumina nicht verändern, sind alle drei Pyramiden kongruent — also exakt gleich groß.
4. 4 Drei gleich große Pyramiden ergeben zusammen den ganzen Würfel — jede einzelne nimmt also genau ein Drittel seines Volumens ein.

Drei kongruente Eckpyramiden füllen den Würfel lückenlos — jede ist also genau ⅓ davon.

🌍 Verallgemeinerung: Es gilt für jede Pyramide

Das Ergebnis gilt nicht nur für diese spezielle Würfel-Eckpyramide, sondern für jede Pyramide — egal welche Form die Grundfläche hat und egal, ob die Spitze mittig über der Grundfläche liegt oder schräg versetzt ist (eine „schiefe“ Pyramide).

Der Grund: Wie oben gezeigt, hat der Querschnitt einer Pyramide in der Höhe x von der Spitze immer den Flächeninhalt G · (x/h)² — diese Formel hängt nur von x, h und G ab, nicht von der genauen Form der Grundfläche oder der Position der Spitze. Nach dem Prinzip von Cavalieri gilt: Haben zwei Körper auf jeder Höhe denselben Querschnitt, haben sie auch dasselbe Volumen. Da jede Pyramide mit Grundfläche G und Höhe h denselben Querschnittsverlauf besitzt wie unsere Würfel-Eckpyramide, hat sie auch automatisch dasselbe Volumen: